Python: Poisson Olasılık Dağılımı

Bu yazımızda simülasyon ortamlarında sıkça kullanılan Poisson(Posan diye okunur.) olasılık dağılımına değineceğiz. Öncelikle bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu(PMF) ve kümülatif olasılık kütle fonksiyonu(CDF) ile çalışacağız. Sonrasında bir Poisson dağılımından örneklem almaya değineceğiz. Örneklem almak için NumPy’ın bize sunduğu imkanların inceleyeceğiz ve ünlü bilgisayar bilimci Donald Knuth’un Poisson Generation algoritmasını gerçekleyeceğiz. En sonunda elimizdeki veriyi Poisson dağılımına uydurmak(Poisson fitting) üzerine konuşacağız.

Sözü fazla uzatmadan Poisson dağılımının neyi modellediğiyle başlayalım.

Nerde Kullanılır?

Poisson dağılımı bir zaman aralığı içinde bir olayın belirli sayıda olma olasılığı ile ilgilenen sonlu(discrete) bir olasılık dağılımıdır. Bu olaylara bir turnikeden geçen insan sayısı, bir dükkana gelen insan sayısı ve ya bir çağrı merkezinin aranma sayısı gibi örnekler verilebilir. Eğer olayların ortalama gerçekleşme sayısı biliniyorsa Poisson dağılımına dayanarak bu olaylarla ilgili çıkarım yapılabilir.

Poisson Olasılık Kütle Fonksiyonu

Poisson Dağılımı bir Lambda parametresi ile ifade edilir ve olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

SciPy kütüphanesi bize bu fonksiyonu sağlıyor.

Görselleştirme:

Örnek

Bir restorana bir saatte ortalama 25 müşteri geliyor. Bu restorana bir saatte 35 müşteri gelme olasılığı nedir?

Poisson Kümülatif Olasılık Fonksiyonu(CDF)

SciPy vasıtasıyla yukarıdaki fonksiyonun kümülatif versiyonuna da erişebiliriz.

Kümülatif hali sizin de bildiğiniz üzere (X=x)’e kadar olan olasılıkların entegrasyonudur. Poisson sonlu bir olasılık dağılımı olduğunda entegrasyon toplama cinsinden yazılır. Yani CDF aslında yukarda oluşturduğumuz PMF’in kümülatif toplanmış versiyonudur(Bkz. numpy.cumsum).

Görselleştirme:

Örnek

Bir restorana saatte 25 kişi geliyorsa, bu restorana bir saatte 20'den az kişi gelme olasılığı nedir?

Poisson Dağılımdan Rastgele Sayı Üretme

Burada SciPy’ım rvs metodundan faydalanabiliriz. Aynı şekilde NumPy da bize Poisson dağılımdan rastgele sayı üretme imkanı sağlıyor.

Knuth Poisson Rastgele Sayı Üretme Algoritması

Yukarıdaki örnekteki gibi idealle örneklemden rastgele gelen veriyi görselleştirelim.

Poisson Fitting

Buraya kadar geldiyseniz elimizdeki veriyi Poisson dağılımına uydurmak için ne yapmamız gerektiğine dair bir fikriniz olduğunu düşünüyorum. Lambda parametresini bulmak için verinin ortalamasını almamız yetiyor arkadaşlar. Fakat bunun arkasında elbette bir matematik var. Bir olasılık dağılımı için parametre tahmini Maximum Likelihood Estimation ismi verilen bir yöntem ile gerçekleştirilir. Aşağıdaki videoda buna MLE kullanılarak Poisson için lambda parametresini veren formulü bulabilirsiniz.

Yukarıda rastgele oluşturduğumuz veriyi tekrardan Poisson dağılımına uydurmayı deneyelim.

Kod

Öneri ve yorumlarınızla destek olmayı unutmayın. Bir başka yazıda görüşmek üzere.